home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter7.4pa < prev    next >
Text File  |  1996-08-13  |  6KB  |  262 lines
  1.  9    4xìy»» + 4xy» + (3x-1)yè=è0
  2.  
  3.     A)èèC¬ xî»ì [ 1 + 3/4 xè+ 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  4.     B)èèC¬ xî»ì [ 1 + 3/4 xè- 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  5.     C)èèC¬ xî»ì [ 1 - 3/4 xè+ 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  6.     D)èèC¬ xî»ì [ 1 - 3/4 xè- 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  7.  
  8.  
  9. ü    è Assume a solution ç ê form
  10.     èèèèèèèè ▄èèèèèè▄
  11.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  12.         èèèèn=0èèèèèn=0
  13.  
  14.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  15.  
  16.     èèDifferentiation yields
  17.         èèè▄
  18.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  19.         èè n=0
  20.  
  21.         èèè ▄
  22.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  23.         èèèn=0
  24.  
  25.     Substitute ïëè4xìy»» + 4xy» + (3x-1)yè=è0èë yield
  26.  
  27.     èèèè ▄èèèèèèèèèèèèèèè▄
  28.     èè4xìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+ 4xèΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  29.     èèèèn=0èèèèèèèèèèèèèèn=0
  30.     èèèèèèèè ▄
  31.     èèèè+ (3x-1) Σèa┬xⁿó¡è=è0
  32.     èèèèèèèèn=0
  33.  
  34.     orè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  35.     èè Σè4(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣ 4(n+m)a┬xⁿó¡
  36.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  37.     èèèè ▄èèèèèèèè▄
  38.     èèè+èΣè3a┬xⁿó¡óî -è Σèa┬xⁿó¡è =è0
  39.     èèèèn=0èèèèèèèn=0
  40.  
  41.     As ê third sum's exponent is different from ê rest, it 
  42.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  43.  
  44.     èè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  45.     èè Σè4(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè4(n+m-1)a┬▀¬xⁿó¡
  46.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  47.     èèèè ▄èèèèèèèèè▄
  48.     èèè+èΣè3a┬▀¬xⁿó¡óîè-èΣèa┬xⁿó¡è=è0
  49.     èèèèn=1èèèèèèèèn=0
  50.  
  51.     As ê third sum starts at n = 1 while ê oêrs start at 
  52.     n = 0, ê first term will be isolated    å ê remaïïg 
  53.     terms combïed ïë one sum.
  54.  
  55.      0è=è[ 4m(m-1) + 4m - 1 ] a╠x¡
  56.     è ▄
  57.     +èΣè{ 4(n+m)(n+m-1)a┬ + 4(n+m-1)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬ }xⁿó¡
  58.     èn=1
  59.  
  60.     è For differential equation ë have a non-trivial solution,
  61.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  62.     yields ê INDICIAL EQUATION
  63.  
  64.         4m(m-1) + 4m - 1è=è0
  65.  
  66.     orèèè4mì - 1è=è0
  67.  
  68.     This facërs ë
  69.         
  70.         (2m - 1)(2m + 1) = 0
  71.  
  72.     The solutions are
  73.  
  74.         m = -1/2, 1/2
  75.  
  76.     èèIf eiêr ç êse two solutions ç ê ïdical equation,
  77.     are subsituted ïë ê assumed solution, ê first term ç
  78.     ê solution will be zero, so for m = 0 or 3 this 
  79.     reduces ë
  80.      ▄
  81.      Σ {è4(n+m)(n+m-1)a┬ + 4(n+m-1)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬ }xⁿó¡è=è0
  82.     n=1
  83.  
  84.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  85.     ê braces is zero.èSettïg each ë zero produces ê
  86.     RECURSION RELATION which for this example will be
  87.  
  88.     èèè4(n+m)(n+m-1)a┬ + 4(n+m-1)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬è=è0
  89.  
  90.     As ê roots for m are distïct å DIFFER BY AN INTEGER,
  91.     this technique will only one solution will be produced by
  92.     this technique.èIt will come from substitutïg ê larger
  93.     solution, m = 1/2, back ïë ê recursion relation which is
  94.  
  95.     èè 4(n+m)(n+m-1)a┬ + 4(n+m-1)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬è=è0
  96.  
  97.     ë yield
  98.     
  99.     èè4(n+1/2)(n-1/2)a┬ + 4(n-1/2)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬è= 0
  100.  
  101.     orèè(2n+1)(2n-1)a┬ + 2(2n-1) + 3a┬▀¬ - a┬è=è0
  102.  
  103.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  104.  
  105.     èè[ (2n+1)(2n-1) + 2(2n-1) - 1 ]a┬è=è- 3 a┬▀¬
  106.  
  107.     Rearrangïg
  108.     èèèèèèèèèèè3
  109.     èèèa┬è=è- ────────────── a┬▀¬èèèn ≥ 1
  110.     èèèèèèè (2n+3)(2n-1)-1èèè 
  111.  
  112.     The first few terms are
  113.          nèèèèè a┬
  114.         ───èèèè ────
  115.          1èèè a¬ = -3/[5(1)-1] a╠ = -3/4 a╠
  116.  
  117.          2èèè a½ = -3/[7(3)-1] a¬ = -3/20 a¬ = 9/80 a╠
  118.  
  119.     Thus one solution is
  120.  
  121.     èC¬ xî»ì [ 1 - 3/4 xè+ 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  122.  
  123. Ç B
  124.  
  125.  10    xìy»» - 3xy» + (4-x)yè=è0
  126.  
  127.     A)è C¬ xì [ 1 + 1/4 xè+ 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  128.     B)è C¬ xì [ 1 + 1/4 xè- 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  129.     C)è C¬ xì [ 1 - 1/4 xè+ 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  130.     D)è C¬ xì [ 1 - 1/4 xè- 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  131.  
  132. ü    è Assume a solution ç ê form
  133.     èèèèèèèè ▄èèèèèè▄
  134.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  135.         èèèèn=0èèèèèn=0
  136.  
  137.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  138.  
  139.     èèDifferentiation yields
  140.         èèè▄
  141.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  142.         èè n=0
  143.  
  144.         èèè ▄
  145.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  146.         èèèn=0
  147.  
  148.     Substitute ïëèü    è Assume a solution ç ê form
  149.     èèèèèèèè ▄èèèèèè▄
  150.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  151.         èèèèn=0èèèèèn=0
  152.  
  153.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  154.  
  155.     èèDifferentiation yields
  156.         èèè▄
  157.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  158.         èè n=0
  159.  
  160.         èèè ▄
  161.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  162.         èèèn=0è
  163.  
  164.     Substitutïgèxìy»» - 3xy» + (4-x)yè=è0èyields
  165.  
  166.     èèèè▄èèèèèèèèèèèèèèè▄
  167.     èèxìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+ 5xèΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  168.     èèè n=0èèèèèèèèèèèèèèn=0
  169.     èèèèèèèè ▄
  170.     èèèè+ (4-x) Σèa┬xⁿó¡è=è0
  171.     èèèèèèèèn=0
  172.  
  173.     orè ▄èèèèèèèèèèèè ▄
  174.     èè Σè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è-èΣ 3(n+m)a┬xⁿó¡
  175.     èèn=0èèèèèèèèèèè n=0
  176.     èèèè ▄èèèèèèèè▄
  177.     èèè+èΣè4a┬xⁿó¡ -è Σèa┬xⁿó¡óîè =è0
  178.     èèèèn=0èèèèèèèn=0
  179.  
  180.     As ê fourth sum's exponent is different from ê rest, it 
  181.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  182.  
  183.     èè ▄èèèèèèèèèèèè ▄
  184.     èè Σè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è-èΣè3(n+m-1)a┬▀¬xⁿó¡
  185.     èèn=0èèèèèèèèèèè n=0
  186.     èèèè ▄èèèèèèè▄
  187.     èèè+èΣè4a┬xⁿó¡è-èΣèa┬▀¬xⁿó¡óîè=è0
  188.     èèèèn=0èèèèèèn=1
  189.  
  190.     As ê fourth sum starts at n = 1 while ê oêrs start at 
  191.     n = 0, ê first term will be isolated    å ê remaïïg 
  192.     terms combïed ïë one sum.
  193.  
  194.      0è=è[ m(m-1) - 3m + 4 ] a╠x¡
  195.     è ▄
  196.     +èΣè{ (n+m)(n+m-1)a┬ - 3(n+m-1)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬ }xⁿó¡
  197.     èn=1
  198.  
  199.     è For differential equation ë have a non-trivial solution,
  200.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  201.     yields ê INDICIAL EQUATION
  202.  
  203.         m(m-1) - 3m + 4è=è0
  204.  
  205.     orèèèmì - 4m + 4è=è0
  206.  
  207.     This facërs ë
  208.         
  209.         (m-2)ì = 0
  210.  
  211.     The solutions are
  212.  
  213.         m = 2, 2
  214.  
  215.     èèIf êse two solutions ç ê ïdical equation are
  216.     subsituted ïë ê assumed solution, ê first term ç
  217.     ê solution will be zero, so for m = 2 this reduces ë
  218.  
  219.      ▄
  220.      Σ { (n+m)(n+m-1)a┬ - 3(n+m-1)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬ }xⁿó¡è=è0
  221.     n=1
  222.  
  223.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  224.     ê braces is zero.èSettïg each ë zero produces ê
  225.     RECURSION RELATION which for this example will be
  226.  
  227.     èèè(n+m)(n+m-1)a┬ - 3(n+m-1)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬è=è0
  228.  
  229.     As ê roots for m are REPEATED, this technique will only one 
  230.     solution will be produced by this technique.èIt will come 
  231.     from substitutïg ê solution, m = 2, back ïë ê 
  232.     recursion relation which is
  233.  
  234.     èè (n+m)(n+m-1)a┬ - 3(n+m-1)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬è=è0
  235.  
  236.     ë yield
  237.     
  238.     èè(n+2)(n+3)a┬ - 3(n+3)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬è= 0
  239.  
  240.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  241.  
  242.     èè[ (n+3)(n-1) + 4 ]a┬è=è a┬▀¬
  243.  
  244.     Rearrangïg
  245.     èèèèèèèèèè1
  246.     èèèa┬è=è────────────── a┬▀¬èèèn ≥ 1
  247.     èèèèèèè(n+3)(n-1)+4èèè 
  248.  
  249.     The first few terms are
  250.          nèèèèè a┬
  251.         ───èèèè ────
  252.          1èèè a¬ = 1/[4(0)+4] a╠ = 1/4 a╠
  253.  
  254.          2èèè a½ = 1/[5(1)+4] a¬ = 1/9 a¬ = 1/36 a╠
  255.  
  256.     Thus one solution is
  257.  
  258.     èC¬ xì [ 1 + 1/4 xè+ 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  259.  
  260. Ç A
  261.  
  262.